Math Formulas

Markdown unterstützt das Einbetten mathematischer Formeln mit LaTeX-Syntax, was professionelle mathematische Ausdrücke für technische Dokumente, akademische Arbeiten und Lehrmaterialien ermöglicht.

Grundlegende LaTeX-Mathematik-Syntax

Inline-Formeln

Verwenden Sie einfache Dollarzeichen $ zum Einschließen von Formeln:

Dies ist eine Inline-Formel: $E = mc^2$, was die Einstein'sche Massen-Energie-Gleichung ist.

Die Fläche eines Kreises ist $A = \pi r^2$, wobei $r$ der Radius ist.

Die Lösung der quadratischen Gleichung: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Gerenderte Ausgabe:

Dies ist eine Inline-Formel: $E = mc^2$, was die Einstein'sche Massen-Energie-Gleichung ist.

Die Fläche eines Kreises ist $A = \pi r^2$, wobei $r$ der Radius ist.

Die Lösung der quadratischen Gleichung: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Block-Formeln

Verwenden Sie doppelte Dollarzeichen $$ zum Einschließen von Formeln, die auf einer separaten zentrierten Zeile angezeigt werden:

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

Gerenderte Ausgabe:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Grundlegende mathematische Elemente

Superscripts und Subscripts

<!-- Superscripts -->
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$

<!-- Subscripts -->
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$

<!-- Combined -->
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$

Gerenderte Ausgabe:

$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$

$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$

$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$

Brüche

<!-- Basic fractions -->
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$

<!-- Continued fractions -->
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$

<!-- Complex fractions -->
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

Gerenderte Ausgabe:

$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$

$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

Quadratwurzeln

<!-- Quadratwurzeln -->
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$

<!-- n-te Wurzeln -->
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$

<!-- Komplexe Wurzeln -->
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$

Gerenderte Ausgabe:

$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$

$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$

Symbole und Operatoren

Griechische Buchstaben

<!-- Kleinbuchstaben -->
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$

$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$

$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$

<!-- Großbuchstaben -->
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$

$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$

Gerenderte Ausgabe:

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$

$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$

$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$

$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$

$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$

Operatoren

<!-- Grundlegende Operationen -->
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$

<!-- Relationale Operationen -->
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$

<!-- Logische Operationen -->
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$

<!-- Mengenoperationen -->
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$

<!-- Andere Symbole -->
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$

Gerenderte Ausgabe:

$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$

$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$

$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$

$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$

$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$

Erweiterte mathematische Strukturen

Summation und Integration

<!-- Summation -->
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

<!-- Integration -->
$$\int_a^b f(x) dx$$

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$

$$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$

<!-- Limits -->
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

Gerenderte Ausgabe:

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

$$\int_a^b f(x) dx$$

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\iint_D f(x,y) , dx , dy$$

$$\iiint_V f(x,y,z) , dx , dy , dz$$

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

Matrizen und Determinanten

<!-- Grundlegende Matrix -->
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$

<!-- Matrix mit Klammern -->
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$

<!-- Determinante -->
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$

<!-- System von Gleichungen -->
$$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x - y = 0
\end{cases}
$$

<!-- Große Matrix -->
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$

Gerenderte Ausgabe:

$$ \begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

$$ \begin{cases} x + y = 1 \ 2x - y = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$

Mehrzeilige Formeln

<!-- Ausgerichtete mehrzeilige Formeln -->
$$
\begin{align}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \\
&= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}
\end{align}
$$

<!-- Fallunterscheidungen -->
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$

<!-- Nummerierte Formeln -->
$$
E = mc^2 \tag{1}
$$

$$
F = ma \tag{2}
$$

Gerenderte Ausgabe:

$$ \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \ &= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \ &= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{align} $$

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} $$

$$ E = mc^2 \tag{1} $$

$$ F = ma \tag{2} $$

Schriftarten und Stile

Mathematische Schriftarten

<!-- Fett -->
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$

<!-- Kursiv (Standard) -->
$A$, $x$, $\alpha$

<!-- Schwarze Schreibschrift -->
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$

<!-- Fraktur -->
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$

<!-- Skript -->
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$

<!-- Monospace -->
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$

<!-- Roman -->
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$

Gerenderte Ausgabe:

$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$

$A$, $x$, $\alpha$

$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$

$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$

$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$

$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$

$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$

Größensteuerung

<!-- Unterschiedliche Größen -->
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$

<!-- Verwendung in Formeln -->
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$

Gerenderte Ausgabe:

$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$

$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$

Spezielle Symbole und Markierungen

Pfeile

<!-- Einzelne Pfeile -->
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$

<!-- Doppelte Pfeile -->
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$

<!-- Lange Pfeile -->
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$

<!-- Doppelte Linienpfeile -->
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

<!-- Spezielle Pfeile -->
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$

Gerenderte Ausgabe:

$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$

$\leftrightarrow$, $\updownarrow$

$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$

$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$

Superscripts und Dekorationen

<!-- Hütchen -->
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$

<!-- Tilde -->
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$

<!-- Überstrich -->
$\bar{a}$, $\overline{abc}$

<!-- Unterstrich -->
$\underline{abc}$

<!-- Vektorpfeil -->
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$

<!-- Punkt -->
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$

Gerenderte Ausgabe:

$\hat{a}$, $\widehat{abc}$

$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$

$\bar{a}$, $\overline{abc}$

$\underline{abc}$

$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$

$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$

Komplexe Formelbeispiele

Physikalische Formeln

<!-- Schrödinger-Gleichung -->
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$

<!-- Maxwell'sche Gleichungen -->
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$

<!-- Lorentz-Transformation -->
$$
\begin{pmatrix}
ct' \\
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

Gerenderte Ausgabe:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$

$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$

$$ \begin{pmatrix} ct' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \ -\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix} $$

Mathematische Sätze

<!-- Fourier-Transformation -->
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

<!-- Taylor-Entwicklung -->
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

<!-- Eulersche Formel -->
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

<!-- Gaußsche Integral -->
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$

<!-- Bayes'scher Satz -->
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

Gerenderte Ausgabe:

$$\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

Algorithmische Komplexität

<!-- Zeitkomplexität -->
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$

<!-- Rekursionsrelation -->
$$T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 1 \\
2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1
\end{cases}$$

<!-- Master-Theorem -->
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$
Dabei ist $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ ist eine asymptotisch positive Funktion.

Gerenderte Ausgabe:

$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$

$$T(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \ 2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1 \end{cases}$$

$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$ Dabei ist $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ ist eine asymptotisch positive Funktion.

Best Practices für mathematische Formeln

Schreibvorschläge

✅ Empfohlen:

1. **Verwenden Sie semantische Befehle**:
   - Verwenden Sie `\sin`, `\cos`, `\log` anstelle von `sin`, `cos`, `log`
   - Verwenden Sie `\mathrm{d}x` für Differentiale

2. **Halten Sie die Abstände angemessen**:
   - Fügen Sie angemessene Abstände um Operatoren hinzu: `\,` (dünner Leerraum), `\;` (mittelgroßer Leerraum), `\quad` (großer Leerraum)

3. **Verwenden Sie passende Klammern**:
   - Automatische Größe: `\left(\right)`, `\left[\right]`, `\left\{\right\}`

4. **Richten Sie Formeln aus**:
   - Verwenden Sie die `align`-Umgebung, um Gleichheitszeichen auszurichten
   - Verwenden Sie `&` zum Markieren von Ausrichtungspunkten

❌ Vermeiden Sie:

1. Nicht lange Formeln in Zeilen zu brechen
2. Fehlende notwendige Klammern
3. Inkonsistente Symbolverwendung
4. Ignorieren von Syntaxfehlern

Häufige Fehlerkorrekturen

<!-- ❌ Falsche -->
$sin(x)$, $log(x)$, $max(a,b)$

<!-- ✅ Korrekt -->
$\sin(x)$, $\log(x)$, $\max(a,b)$

<!-- ❌ Falsche -->
$(\frac{a}{b})$

<!-- ✅ Korrekt -->
$\left(\frac{a}{b}\right)$

<!-- ❌ Falsche -->
$x=1+2+3+...+n$

<!-- ✅ Korrekt -->
$x = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$

Barrierefreiheit

Um Formelbarrierefreiheit zu verbessern:

1. **Fügen Sie Textbeschreibungen hinzu**:
   $$E = mc^2$$
   > Dies ist die Einstein'sche Massen-Energie-Gleichung, was bedeutet, dass Energie gleich Masse mal Lichtgeschwindigkeit im Quadrat ist.

2. **Verwenden Sie alternative Texte**:
   Fügen Sie vereinfachte Erklärungen nach komplexen Formeln hinzu

3. **Verwenden Sie Farbe allein zur Unterscheidung**:
   Verwenden Sie unterschiedliche Symbole oder Stile, um Konzepte zu unterscheiden

4. **Halten Sie Formeln kurz**:
   Brechen Sie komplexe Formeln in mehrere Schritte auf

Unterstützte mathematische Umgebungen

Markdown-Prozessor-Unterstützung

Prozessor	Math-Unterstützung	Syntax	Konfiguration
GitHub	✅	$...$, $$...$$	Automatisch
GitLab	✅	$...$, $$...$$	Muss aktiviert werden
VitePress	✅	$...$, $$...$$	Plugin-Konfiguration
Jekyll	✅	$...$, $$...$$	MathJax/KaTeX
Hugo	✅	$...$, $$...$$	Theme-Unterstützung

VitePress-Konfigurationsbeispiel

// .vitepress/config.js
export default {
  markdown: {
    math: true
  }
}

Rendering-Engines

Häufige mathematische Formel-Rendering-Engines:

1. **MathJax**:
   - Vollständigste, unterstützt vollständiges LaTeX
   - Hohe Rendering-Qualität, aber langsameres Laden

2. **KaTeX**:
   - Schnelles Rendern
   - Unterstützt häufige mathematische Syntax
   - Kleinere Größe

3. **MathML**:
   - Native Browser-Unterstützung
   - Komplexe Syntax, normalerweise automatisch generiert

Verwandte Syntax

• HTML-Einbettung - HTML-Erweiterungen
• Diagramme - Diagrammerstellung
• Best Practices - Schreibempfehlungen

Tools und Ressourcen

Online-Editoren

• LaTeX Live: Real-time-Vorschau mathematischer Formeln
• MathJax Demo: Testen Sie MathJax-Rendering
• KaTeX Demo: KaTeX-Formel-Test
• Desmos: Grafische mathematische Ausdrücke

Formel-Editier-Tools

• MathType: Professionelles Formel-Editier-Tool
• LaTeX Workshop (VS Code): LaTeX-Schreib-Plugin
• MathQuill: Visuelles Formel-Editier-Tool
• Wiris: Online-Formel-Editier-Tool

Referenz-Ressourcen

• LaTeX-Mathematische Symbole: Mathematische Symbolreferenztabelle
• Detexify: Handschriftliche LaTeX-Symbolerkennung
• MathJax-Dokumentation: Offizielle Dokumentation
• KaTeX-Unterstützte Funktionen: Liste der unterstützten Funktionen

Durch das Beherrschen der mathematischen Formelsyntax können Sie komplexe mathematische Konzepte und Formeln elegant in technische Dokumentationen ausdrücken.