Công thức toán học
Markdown hỗ trợ nhúng công thức toán bằng cú pháp LaTeX, cung cấp khả năng biểu đạt toán học chuyên nghiệp cho tài liệu kỹ thuật, học thuật và giảng dạy.
Cơ bản về cú pháp LaTeX trong toán học
Công thức nội tuyến
Dùng một dấu đô la $ bao quanh công thức:
Đây là một công thức nội tuyến: $E = mc^2$, phương trình khối lượng–năng lượng của Einstein.
Diện tích hình tròn: $A = \pi r^2$, với $r$ là bán kính.
Nghiệm phương trình bậc hai: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$Kết quả hiển thị:
Đây là một công thức nội tuyến: $E = mc^2$, phương trình khối lượng–năng lượng của Einstein.
Diện tích hình tròn: $A = \pi r^2$, với $r$ là bán kính.
Nghiệm phương trình bậc hai: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Công thức dạng khối
Dùng cặp dấu đô la $$ bao quanh công thức; công thức sẽ đứng riêng một dòng và căn giữa:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$Kết quả hiển thị:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
Các phần tử toán cơ bản
Chỉ số trên và chỉ số dưới
<!-- Chỉ số trên -->
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$
<!-- Chỉ số dưới -->
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$
<!-- Kết hợp sử dụng -->
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$Kết quả hiển thị:
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$
Phân số
<!-- Phân số cơ bản -->
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$
<!-- Phân số liên tục -->
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$
<!-- Phân số phức tạp -->
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$Kết quả hiển thị:
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$
Căn bậc
<!-- Căn bậc hai -->
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$
<!-- Căn bậc n -->
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$
<!-- Biểu thức căn phức tạp -->
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$Kết quả hiển thị:
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$
Ký hiệu và toán tử
Chữ cái Hy Lạp
<!-- Chữ thường Hy Lạp -->
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$
$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$
$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$
<!-- Chữ hoa Hy Lạp -->
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$
$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$Kết quả hiển thị:
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$
$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$
$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$
$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$
Toán tử
<!-- Phép toán cơ bản -->
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$
<!-- Quan hệ -->
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$
<!-- Logic -->
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$
<!-- Tập hợp -->
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
<!-- Ký hiệu khác -->
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$Kết quả hiển thị:
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$
Cấu trúc toán nâng cao
Tổng và tích phân
<!-- Tổng -->
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$
<!-- Tích phân -->
$$\int_a^b f(x) dx$$
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$
$$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$
<!-- Giới hạn -->
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$Kết quả hiển thị:
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$
$$\int_a^b f(x) dx$$
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
$$\iint_D f(x,y) , dx , dy$$
$$\iiint_V f(x,y,z) , dx , dy , dz$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$
Ma trận và định thức
<!-- Ma trận cơ bản -->
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$
<!-- Ma trận có ngoặc -->
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
<!-- Định thức -->
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$
<!-- Hệ phương trình -->
$$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x - y = 0
\end{cases}
$$
<!-- Ma trận lớn -->
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$Kết quả hiển thị:
$$ \begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$
$$ \begin{cases} x + y = 1 \ 2x - y = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$
Công thức nhiều dòng
<!-- Căn chỉnh công thức nhiều dòng -->
$$
\begin{align}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \\
&= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}
\end{align}
$$
<!-- Xét theo trường hợp -->
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$
<!-- Công thức có đánh số -->
$$
E = mc^2 \tag{1}
$$
$$
F = ma \tag{2}
$$Kết quả hiển thị:
$$ \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \ &= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \ &= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{align} $$
$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} $$
$$ E = mc^2 \tag{1} $$
$$ F = ma \tag{2} $$
Phông chữ và kiểu dáng
Phông chữ toán học
<!-- Đậm -->
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$
<!-- Nghiêng (mặc định) -->
$A$, $x$, $\alpha$
<!-- Blackboard bold -->
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
<!-- Chữ hoa văn (caligraphic) -->
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$
<!-- Script font -->
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$
<!-- Phông chữ đơn cách -->
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$
<!-- Kiểu Roman -->
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$Kết quả hiển thị:
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$
$A$, $x$, $\alpha$
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$
Điều khiển kích thước
<!-- Kích thước khác nhau -->
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$
<!-- Ứng dụng trong công thức -->
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$Kết quả hiển thị:
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$
Ký hiệu và đánh dấu đặc biệt
Mũi tên
<!-- Một chiều -->
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$
<!-- Hai chiều -->
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$
<!-- Mũi tên dài -->
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$
<!-- Mũi tên hai gạch -->
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$
<!-- Mũi tên đặc biệt -->
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$Kết quả hiển thị:
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$
Ký hiệu mũ và trang trí
<!-- Dấu mũ (hat) -->
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$
<!-- Dấu ngã (tilde) -->
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$
<!-- Gạch ngang (bar) -->
$\bar{a}$, $\overline{abc}$
<!-- Gạch dưới (underline) -->
$\underline{abc}$
<!-- Mũi tên vector -->
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$
<!-- Dấu chấm (dot) -->
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$Kết quả hiển thị:
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$
$\bar{a}$, $\overline{abc}$
$\underline{abc}$
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$
Ví dụ công thức phức tạp
Công thức vật lý
<!-- Phương trình Schrödinger -->
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$
<!-- Hệ phương trình Maxwell -->
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$
<!-- Biến đổi Lorentz -->
$$
\begin{pmatrix}
ct' \\
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$Kết quả hiển thị:
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$
$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$
$$ \begin{pmatrix} ct' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \ -\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix} $$
Định lý toán học
<!-- Biến đổi Fourier -->
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
<!-- Khai triển Taylor -->
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
<!-- Công thức Euler -->
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
<!-- Tích phân Gauss -->
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$
<!-- Định lý Bayes -->
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$Kết quả hiển thị:
$$\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
Độ phức tạp thuật toán
<!-- Độ phức tạp thời gian -->
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$
<!-- Quan hệ truy hồi -->
$$T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 1 \\
2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1
\end{cases}$$
<!-- Định lý tổng quát (Master theorem) -->
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$
Trong đó, $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ là hàm dương tiệm cận.Kết quả hiển thị:
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$
$$T(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \ 2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1 \end{cases}$$
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$ Trong đó, $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ là hàm dương tiệm cận.
Thực hành tốt cho công thức toán
Gợi ý biên soạn
✅ Khuyến nghị:
1. **Dùng lệnh có tính ngữ nghĩa**:
- Dùng `\sin`, `\cos`, `\log` thay vì `sin`, `cos`, `log`
- Dùng `\mathrm{d}x` để biểu diễn vi phân
2. **Giữ khoảng cách hợp lý**:
- Thêm khoảng trắng quanh toán tử: `\,` (nhỏ), `\;` (trung bình), `\quad` (lớn)
3. **Dùng ngoặc phù hợp**:
- Tự động điều chỉnh kích thước: `\left(\right)`, `\left[\right]`, `\left\{\right\}`
4. **Căn chỉnh công thức**:
- Dùng môi trường `align` để căn dấu bằng
- Dùng `&` để đánh dấu điểm căn
❌ Tránh:
1. Công thức quá dài không xuống dòng
2. Thiếu ngoặc cần thiết
3. Sử dụng ký hiệu không nhất quán
4. Bỏ qua kiểm tra lỗi cú phápSửa lỗi thường gặp
<!-- ❌ Cách viết sai -->
$sin(x)$，$log(x)$，$max(a,b)$
<!-- ✅ Cách viết đúng -->
$\sin(x)$，$\log(x)$，$\max(a,b)$
<!-- ❌ Cách viết sai -->
$(\frac{a}{b})$
<!-- ✅ Cách viết đúng -->
$\left(\frac{a}{b}\right)$
<!-- ❌ Cách viết sai -->
$x=1+2+3+...+n$
<!-- ✅ Cách viết đúng -->
$x = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$Cân nhắc khả năng truy cập
Để cải thiện khả năng truy cập của công thức:
1. **Thêm mô tả bằng chữ**:
$$E = mc^2$$
> Đây là phương trình khối lượng-năng lượng của Einstein, biểu thị năng lượng bằng khối lượng nhân với bình phương tốc độ ánh sáng.
2. **Dùng văn bản thay thế**:
Thêm giải thích rút gọn sau các công thức phức tạp
3. **Tránh chỉ dùng màu sắc để phân biệt**:
Sử dụng ký hiệu hoặc kiểu dáng khác nhau để phân biệt khái niệm
4. **Giữ công thức đơn giản**:
Tách công thức phức tạp thành nhiều bướcMôi trường toán học được hỗ trợ
Hỗ trợ từ các bộ xử lý Markdown
| Trình xử lý | Hỗ trợ toán | Cú pháp | Yêu cầu cấu hình |
|---|---|---|---|
| GitHub | ✅ | $...$, $$...$$ | Tự động hỗ trợ |
| GitLab | ✅ | $...$, $$...$$ | Cần bật |
| VitePress | ✅ | $...$, $$...$$ | Cấu hình plugin |
| Jekyll | ✅ | $...$, $$...$$ | MathJax/KaTeX |
| Hugo | ✅ | $...$, $$...$$ | Hỗ trợ qua theme |
Ví dụ cấu hình VitePress
// .vitepress/config.js
export default {
markdown: {
math: true
}
}Công cụ kết xuất
Các công cụ kết xuất công thức toán thường dùng:
1. **MathJax**:
- Đầy đủ tính năng, hỗ trợ hầu hết LaTeX
- Chất lượng kết xuất cao, nhưng tải chậm hơn
2. **KaTeX**:
- Kết xuất nhanh
- Hỗ trợ cú pháp toán học phổ biến
- Kích thước gói nhỏ
3. **MathML**:
- Hỗ trợ nguyên bản trên trình duyệt
- Cú pháp phức tạp, thường được sinh tự độngCú pháp liên quan
- Nhúng HTML - Tăng cường HTML
- Lưu đồ - Vẽ biểu đồ
- Thực hành tốt nhất - Gợi ý soạn tài liệu
Công cụ và tài nguyên
Trình soạn trực tuyến
- LaTeX Live: Xem trước công thức LaTeX theo thời gian thực
- MathJax Demo: Thử nghiệm kết xuất MathJax
- KaTeX Demo: Thử nghiệm công thức với KaTeX
- Desmos: Biểu diễn toán học trực quan
Công cụ biên soạn công thức
- MathType: Trình soạn công thức toán chuyên nghiệp
- LaTeX Workshop (VS Code): Tiện ích soạn LaTeX
- MathQuill: Trình soạn toán trực quan
- Wiris: Trình soạn công thức trực tuyến
Tài nguyên tham khảo
- LaTeX Math Symbols: Bảng tham khảo ký hiệu toán
- Detexify: Nhận dạng ký hiệu LaTeX viết tay
- MathJax Documentation: Tài liệu chính thức
- KaTeX Supported Functions: Danh sách hàm được hỗ trợ
Bằng cách nắm vững cú pháp công thức, bạn có thể diễn đạt tao nhã các khái niệm và công thức toán học phức tạp trong tài liệu kỹ thuật.