Математические формулы

Markdown поддерживает вставку математических формул с использованием синтаксиса LaTeX, предоставляя профессиональные возможности математического выражения для технических документов, академических статей и учебных материалов.

Основной синтаксис математических формул LaTeX

Встроенные формулы

Используйте одинарные знаки доллара $ для заключения формул:

markdown

Это встроенная формула: $E = mc^2$, которая является уравнением массы-энергии Эйнштейна.

Площадь круга равна $A = \pi r^2$, где $r$ - радиус.

Решение квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Результат отображения:

Это встроенная формула: $E = mc^2$, которая является уравнением массы-энергии Эйнштейна.

Площадь круга равна $A = \pi r^2$, где $r$ - радиус.

Решение квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Блочные формулы

Используйте двойные знаки доллара $$ для заключения формул, которые будут отображаться на отдельной центрированной строке:

markdown

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

Результат отображения:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Основные математические элементы

Верхние и нижние индексы

markdown

<!-- Верхние индексы -->
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$

<!-- Нижние индексы -->
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$

<!-- Комбинированные -->
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$

Результат отображения:

$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$

$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$

$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$

Дроби

markdown

<!-- Простые дроби -->
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$

<!-- Цепные дроби -->
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$

<!-- Сложные дроби -->
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

Результат отображения:

$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$

$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

Корни

markdown

<!-- Квадратные корни -->
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$

<!-- Корни n-й степени -->
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$

<!-- Сложные корни -->
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$

Результат отображения:

$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$

$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$

Символы и операторы

Греческие буквы

markdown

<!-- Строчные греческие буквы -->
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$

$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$

$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$

<!-- Заглавные греческие буквы -->
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$

$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$

Результат отображения:

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$

$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$

$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$

$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$

$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$

Операторы

markdown

<!-- Основные операции -->
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$

<!-- Операции сравнения -->
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$

<!-- Логические операции -->
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$

<!-- Операции над множествами -->
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$

<!-- Другие символы -->
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$

Результат отображения:

$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$

$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$

$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$

$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$

$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$

Продвинутые математические структуры

Суммирование и интегрирование

markdown

<!-- Суммирование -->
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

<!-- Интегрирование -->
$$\int_a^b f(x) dx$$

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$

$$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$

<!-- Пределы -->
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

Результат отображения:

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

$$\int_a^b f(x) dx$$

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\iint_D f(x,y) , dx , dy$$

$$\iiint_V f(x,y,z) , dx , dy , dz$$

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

Матрицы и определители

markdown

<!-- Простая матрица -->
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$

<!-- Матрица в скобках -->
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$

<!-- Определитель -->
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$

<!-- Система уравнений -->
$$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x - y = 0
\end{cases}
$$

<!-- Большая матрица -->
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$

Результат отображения:

$$ \begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

$$ \begin{cases} x + y = 1 \ 2x - y = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$

Многострочные формулы

markdown

<!-- Выровненные многострочные формулы -->
$$
\begin{align}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \\
&= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}
\end{align}
$$

<!-- Кусково заданные функции -->
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$

<!-- Нумерованные формулы -->
$$
E = mc^2 \tag{1}
$$

$$
F = ma \tag{2}
$$

Результат отображения:

$$ \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \ &= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \ &= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{align} $$

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} $$

$$ E = mc^2 \tag{1} $$

$$ F = ma \tag{2} $$

Шрифты и стили

Математические шрифты

markdown

<!-- Жирный -->
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$

<!-- Курсив (по умолчанию) -->
$A$, $x$, $\alpha$

<!-- Двойной штрих -->
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$

<!-- Каллиграфический -->
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$

<!-- Скрипт -->
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$

<!-- Моноширинный -->
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$

<!-- Римский -->
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$

Результат отображения:

$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$

$A$, $x$, $\alpha$

$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$

$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$

$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$

$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$

$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$

Управление размером

markdown

<!-- Разные размеры -->
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$

<!-- Использование в формулах -->
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$

Результат отображения:

$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$

$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$

Специальные символы и обозначения

Стрелки

markdown

<!-- Одинарные стрелки -->
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$

<!-- Двойные стрелки -->
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$

<!-- Длинные стрелки -->
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$

<!-- Двойные линейные стрелки -->
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

<!-- Специальные стрелки -->
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$

Результат отображения:

$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$

$\leftrightarrow$, $\updownarrow$

$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$

$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$

Верхние индексы и украшения

markdown

<!-- Шляпка -->
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$

<!-- Тильда -->
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$

<!-- Верхняя черта -->
$\bar{a}$, $\overline{abc}$

<!-- Подчеркивание -->
$\underline{abc}$

<!-- Векторная стрелка -->
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$

<!-- Точка -->
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$

Результат отображения:

$\hat{a}$, $\widehat{abc}$

$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$

$\bar{a}$, $\overline{abc}$

$\underline{abc}$

$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$

$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$

Примеры сложных формул

Физические формулы

markdown

<!-- Уравнение Шрёдингера -->
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$

<!-- Уравнения Максвелла -->
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$

<!-- Преобразование Лоренца -->
$$
\begin{pmatrix}
ct' \\
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

Результат отображения:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$

$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$

$$ \begin{pmatrix} ct' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \ -\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix} $$

Математические теоремы

markdown

<!-- Преобразование Фурье -->
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

<!-- Ряд Тейлора -->
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

<!-- Формула Эйлера -->
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

<!-- Гауссов интеграл -->
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$

<!-- Теорема Байеса -->
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

Результат отображения:

$$\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

Сложность алгоритмов

markdown

<!-- Временная сложность -->
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$

<!-- Рекуррентное соотношение -->
$$T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 1 \\
2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1
\end{cases}$$

<!-- Основная теорема -->
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$
Где $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ - асимптотически положительная функция.

Результат отображения:

$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$

$$T(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \ 2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1 \end{cases}$$

$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$ Где $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ - асимптотически положительная функция.

Лучшие практики для математических формул

Исправление распространенных ошибок

markdown

<!-- ❌ Неправильно -->
$sin(x)$, $log(x)$, $max(a,b)$

<!-- ✅ Правильно -->
$\sin(x)$, $\log(x)$, $\max(a,b)$

<!-- ❌ Неправильно -->
$(\frac{a}{b})$

<!-- ✅ Правильно -->
$\left(\frac{a}{b}\right)$

<!-- ❌ Неправильно -->
$x=1+2+3+...+n$

<!-- ✅ Правильно -->
$x = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$

Соображения доступности

markdown

Для улучшения доступности формул:

1. **Добавляйте текстовые описания**:
   $$E = mc^2$$
   > Это уравнение массы-энергии Эйнштейна, означающее, что энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света.

2. **Используйте альтернативный текст**:
   Добавляйте упрощенные объяснения после сложных формул

3. **Избегайте использования только цвета для различения**:
   Используйте разные символы или стили для различения концепций

4. **Сохраняйте формулы краткими**:
   Разбивайте сложные формулы на несколько шагов

Поддерживаемые математические среды

Поддержка Markdown процессоров

Процессор	Поддержка математики	Синтаксис	Конфигурация
GitHub	✅	$...$ , `$$...$$`	Автоматически
GitLab	✅	$...$ , `$$...$$`	Требует включения
VitePress	✅	$...$ , `$$...$$`	Конфигурация плагина
Jekyll	✅	$...$ , `$$...$$`	MathJax/KaTeX
Hugo	✅	$...$ , `$$...$$`	Поддержка темы

Пример конфигурации VitePress

javascript

// .vitepress/config.js
export default {
  markdown: {
    math: true
  }
}

Движки рендеринга

markdown

Распространенные движки рендеринга математических формул:

1. **MathJax**:
   - Наиболее полный, поддерживает полный LaTeX
   - Высокое качество рендеринга, но медленная загрузка

2. **KaTeX**:
   - Быстрый рендеринг
   - Поддерживает общий математический синтаксис
   - Меньший размер

3. **MathML**:
   - Нативная поддержка браузера
   - Сложный синтаксис, обычно автоматически генерируется

Связанный синтаксис

Встраивание HTML - Расширения HTML
Диаграммы - Рисование диаграмм
Лучшие практики - Рекомендации по написанию

Инструменты и ресурсы

Онлайн-редакторы

LaTeX Live: Предварительный просмотр формул LaTeX в реальном времени
MathJax Demo: Тестирование рендеринга MathJax
KaTeX Demo: Тестирование формул KaTeX
Desmos: Графические математические выражения

Инструменты редактирования формул

MathType: Профессиональный редактор математических формул
LaTeX Workshop (VS Code): Плагин для написания LaTeX
MathQuill: Визуальный математический редактор
Wiris: Онлайн-редактор математических формул

Справочные ресурсы

LaTeX Math Symbols: Таблица ссылок на математические символы
Detexify: Распознавание рукописных символов LaTeX
MathJax Documentation: Официальная документация
KaTeX Supported Functions: Список поддерживаемых функций

Освоив синтаксис математических формул, вы сможете элегантно выражать сложные математические концепции и формулы в технической документации.

Математические формулы ​

Основной синтаксис математических формул LaTeX ​

Встроенные формулы ​

Блочные формулы ​

Основные математические элементы ​

Верхние и нижние индексы ​

Дроби ​

Корни ​

Символы и операторы ​

Греческие буквы ​

Операторы ​

Продвинутые математические структуры ​

Суммирование и интегрирование ​

Матрицы и определители ​

Многострочные формулы ​

Шрифты и стили ​

Математические шрифты ​

Управление размером ​

Специальные символы и обозначения ​

Стрелки ​

Верхние индексы и украшения ​

Примеры сложных формул ​

Физические формулы ​

Математические теоремы ​

Сложность алгоритмов ​

Лучшие практики для математических формул ​

Рекомендации по написанию ​

Исправление распространенных ошибок ​

Соображения доступности ​

Поддерживаемые математические среды ​

Поддержка Markdown процессоров ​

Пример конфигурации VitePress ​

Движки рендеринга ​

Связанный синтаксис ​

Инструменты и ресурсы ​

Онлайн-редакторы ​

Инструменты редактирования формул ​

Справочные ресурсы ​

Математические формулы

Основной синтаксис математических формул LaTeX

Встроенные формулы

Блочные формулы

Основные математические элементы

Верхние и нижние индексы

Дроби

Корни

Символы и операторы

Греческие буквы

Операторы

Продвинутые математические структуры

Суммирование и интегрирование

Матрицы и определители

Многострочные формулы

Шрифты и стили

Математические шрифты

Управление размером

Специальные символы и обозначения

Стрелки

Верхние индексы и украшения

Примеры сложных формул

Физические формулы

Математические теоремы

Сложность алгоритмов

Лучшие практики для математических формул

Рекомендации по написанию

Исправление распространенных ошибок

Соображения доступности

Поддерживаемые математические среды

Поддержка Markdown процессоров

Пример конфигурации VitePress

Движки рендеринга

Связанный синтаксис

Инструменты и ресурсы

Онлайн-редакторы

Инструменты редактирования формул

Справочные ресурсы