数学公式
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LaTeX 数学语法基础
行内公式
使用单个美元符号 $ 包围公式：
这是一个行内公式：$E = mc^2$，它是爱因斯坦的质能方程。
圆的面积公式是 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 是半径。
二次方程的解为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$渲染效果：
这是一个行内公式：$E = mc^2$，它是爱因斯坦的质能方程。
圆的面积公式是 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 是半径。
二次方程的解为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
块级公式
使用双美元符号 $$ 包围公式，公式会单独成行并居中显示：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$渲染效果：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
基本数学元素
上标和下标
<!-- 上标 -->
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$
<!-- 下标 -->
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$
<!-- 组合使用 -->
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$渲染效果：
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$
分数
<!-- 基本分数 -->
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$
<!-- 连分数 -->
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$
<!-- 复杂分数 -->
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$渲染效果：
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$
根号
<!-- 平方根 -->
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$
<!-- n次根 -->
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$
<!-- 复杂根式 -->
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$渲染效果：
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$
符号和运算符
希腊字母
<!-- 小写希腊字母 -->
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$
$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$
$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$
<!-- 大写希腊字母 -->
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$
$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$渲染效果：
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$
$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$
$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$
$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$
运算符
<!-- 基本运算 -->
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$
<!-- 关系运算 -->
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$
<!-- 逻辑运算 -->
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$
<!-- 集合运算 -->
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
<!-- 其他符号 -->
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$渲染效果：
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$
高级数学结构
求和与积分
<!-- 求和 -->
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$
<!-- 积分 -->
$$\int_a^b f(x) dx$$
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$
$$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$
<!-- 极限 -->
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$渲染效果：
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$
$$\int_a^b f(x) dx$$
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
$$\iint_D f(x,y) , dx , dy$$
$$\iiint_V f(x,y,z) , dx , dy , dz$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$
矩阵和行列式
<!-- 基本矩阵 -->
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$
<!-- 带括号的矩阵 -->
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
<!-- 行列式 -->
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$
<!-- 方程组 -->
$$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x - y = 0
\end{cases}
$$
<!-- 大型矩阵 -->
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$渲染效果：
$$ \begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$
$$ \begin{cases} x + y = 1 \ 2x - y = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$
多行公式
<!-- 对齐的多行公式 -->
$$
\begin{align}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \\
&= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}
\end{align}
$$
<!-- 分情况讨论 -->
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$
<!-- 带编号的公式 -->
$$
E = mc^2 \tag{1}
$$
$$
F = ma \tag{2}
$$渲染效果：
$$ \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \ &= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \ &= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{align} $$
$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} $$
$$ E = mc^2 \tag{1} $$
$$ F = ma \tag{2} $$
字体和样式
数学字体
<!-- 粗体 -->
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$
<!-- 斜体（默认） -->
$A$, $x$, $\alpha$
<!-- 黑板粗体 -->
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
<!-- 花体 -->
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$
<!-- 脚本体 -->
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$
<!-- 等宽字体 -->
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$
<!-- 罗马体 -->
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$渲染效果：
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$
$A$, $x$, $\alpha$
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$
大小控制
<!-- 不同大小 -->
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$
<!-- 在公式中的应用 -->
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$渲染效果：
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$
特殊符号和标记
箭头
<!-- 单向箭头 -->
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$
<!-- 双向箭头 -->
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$
<!-- 长箭头 -->
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$
<!-- 双线箭头 -->
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$
<!-- 特殊箭头 -->
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$渲染效果：
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$
上标和装饰
<!-- 帽子 -->
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$
<!-- 波浪线 -->
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$
<!-- 横线 -->
$\bar{a}$, $\overline{abc}$
<!-- 下划线 -->
$\underline{abc}$
<!-- 向量箭头 -->
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$
<!-- 点 -->
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$渲染效果：
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$
$\bar{a}$, $\overline{abc}$
$\underline{abc}$
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$
复杂公式示例
物理公式
<!-- 薛定谔方程 -->
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$
<!-- 麦克斯韦方程组 -->
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$
<!-- 洛伦兹变换 -->
$$
\begin{pmatrix}
ct' \\
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$渲染效果：
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$
$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$
$$ \begin{pmatrix} ct' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \ -\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix} $$
数学定理
<!-- 傅里叶变换 -->
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
<!-- 泰勒展开 -->
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
<!-- 欧拉公式 -->
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
<!-- 高斯积分 -->
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$
<!-- 贝叶斯定理 -->
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$渲染效果：
$$\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
算法复杂度
<!-- 时间复杂度 -->
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$
<!-- 递推关系 -->
$$T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 1 \\
2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1
\end{cases}$$
<!-- 主定理 -->
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$
其中，$a \geq 1$，$b > 1$，$f(n)$ 是渐近正函数。渲染效果：
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$
$$T(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \ 2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1 \end{cases}$$
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$ 其中，$a \geq 1$，$b > 1$，$f(n)$ 是渐近正函数。
数学公式最佳实践
编写建议
✅ 推荐做法：
1. **使用语义化命令**：
- 使用 `\sin`、`\cos`、`\log` 而不是 `sin`、`cos`、`log`
- 使用 `\mathrm{d}x` 表示微分
2. **保持间距合理**：
- 在运算符周围添加适当空格：`\,`（小空格）、`\;`（中空格）、`\quad`（大空格）
3. **使用括号匹配**：
- 自动调整大小：`\left(\right)`、`\left[\right]`、`\left\{\right\}`
4. **公式对齐**：
- 使用 `align` 环境对齐等号
- 使用 `&` 标记对齐点
❌ 避免做法：
1. 过长的公式不换行
2. 缺少必要的括号
3. 不一致的符号使用
4. 忽略语法错误检查常见错误修正
<!-- ❌ 错误写法 -->
$sin(x)$，$log(x)$，$max(a,b)$
<!-- ✅ 正确写法 -->
$\sin(x)$，$\log(x)$，$\max(a,b)$
<!-- ❌ 错误写法 -->
$(\frac{a}{b})$
<!-- ✅ 正确写法 -->
$\left(\frac{a}{b}\right)$
<!-- ❌ 错误写法 -->
$x=1+2+3+...+n$
<!-- ✅ 正确写法 -->
$x = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$可访问性考虑
为了提高公式的可访问性：
1. **添加文字描述**：
$$E = mc^2$$
> 这是爱因斯坦的质能方程，表示能量等于质量乘以光速的平方。
2. **使用替代文本**：
在复杂公式后添加简化说明
3. **避免仅用颜色区分**：
使用不同的符号或样式来区分概念
4. **保持公式简洁**：
将复杂公式拆分为多个步骤支持的数学环境
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VitePress 配置示例
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export default {
markdown: {
math: true
}
}渲染引擎
常用的数学公式渲染引擎：
1. **MathJax**：
- 功能最完整，支持全套 LaTeX
- 渲染质量高，但加载较慢
2. **KaTeX**：
- 渲染速度快
- 支持常用数学语法
- 体积较小
3. **MathML**：
- 原生浏览器支持
- 语法复杂，通常自动生成相关语法
工具和资源
在线编辑器
- LaTeX Live: 实时预览LaTeX公式
- MathJax Demo: 测试MathJax渲染
- KaTeX Demo: KaTeX公式测试
- Desmos: 图形化数学表达式
公式编辑工具
- MathType: 专业数学公式编辑器
- LaTeX Workshop (VS Code): LaTeX编写插件
- MathQuill: 可视化数学编辑器
- Wiris: 在线数学公式编辑器
参考资源
- LaTeX Math Symbols: 数学符号参考表
- Detexify: 手写识别LaTeX符号
- MathJax Documentation: 官方文档
- KaTeX Supported Functions: 支持的函数列表
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