數學公式
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LaTeX 數學語法基礎
行內公式
使用單個美元符號 $ 包圍公式：
這是一個行內公式：$E = mc^2$，它是愛因斯坦的質能方程。
圓的面積公式是 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 是半徑。
二次方程的解為：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$渲染效果：
這是一個行內公式：$E = mc^2$，它是愛因斯坦的質能方程。
圓的面積公式是 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 是半徑。
二次方程的解為：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
塊級公式
使用雙美元符號 $$ 包圍公式，公式會單獨成行並居中顯示：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$渲染效果：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
基本數學元素
上標和下標
<!-- 上標 -->
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$
<!-- 下標 -->
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$
<!-- 組合使用 -->
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$渲染效果：
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$
分數
<!-- 基本分數 -->
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$
<!-- 連分數 -->
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$
<!-- 復雜分數 -->
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$渲染效果：
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$
根號
<!-- 平方根 -->
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$
<!-- n次根 -->
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$
<!-- 復雜根式 -->
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$渲染效果：
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$
符號和運算符
希臘字母
<!-- 小寫希臘字母 -->
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$
$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$
$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$
<!-- 大寫希臘字母 -->
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$
$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$渲染效果：
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$
$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$
$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$
$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$
運算符
<!-- 基本運算 -->
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$
<!-- 關系運算 -->
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$
<!-- 邏輯運算 -->
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$
<!-- 集合運算 -->
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
<!-- 其他符號 -->
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$渲染效果：
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$
高級數學結構
求和與積分
<!-- 求和 -->
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$
<!-- 積分 -->
$$\int_a^b f(x) dx$$
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$
$$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$
<!-- 極限 -->
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$渲染效果：
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$
$$\int_a^b f(x) dx$$
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
$$\iint_D f(x,y) , dx , dy$$
$$\iiint_V f(x,y,z) , dx , dy , dz$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$
矩陣和行列式
<!-- 基本矩陣 -->
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$
<!-- 帶括號的矩陣 -->
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$
<!-- 行列式 -->
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$
<!-- 方程組 -->
$$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x - y = 0
\end{cases}
$$
<!-- 大型矩陣 -->
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$渲染效果：
$$ \begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$
$$ \begin{cases} x + y = 1 \ 2x - y = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$
多行公式
<!-- 對齊的多行公式 -->
$$
\begin{align}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \\
&= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}
\end{align}
$$
<!-- 分情況討論 -->
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$
<!-- 帶編號的公式 -->
$$
E = mc^2 \tag{1}
$$
$$
F = ma \tag{2}
$$渲染效果：
$$ \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \ &= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \ &= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{align} $$
$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} $$
$$ E = mc^2 \tag{1} $$
$$ F = ma \tag{2} $$
字體和樣式
數學字體
<!-- 粗體 -->
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$
<!-- 斜體（默認） -->
$A$, $x$, $\alpha$
<!-- 黑板粗體 -->
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
<!-- 花體 -->
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$
<!-- 腳本體 -->
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$
<!-- 等寬字體 -->
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$
<!-- 羅馬體 -->
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$渲染效果：
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$
$A$, $x$, $\alpha$
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$
大小控制
<!-- 不同大小 -->
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$
<!-- 在公式中的應用 -->
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$渲染效果：
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$
特殊符號和標記
箭頭
<!-- 單向箭頭 -->
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$
<!-- 雙向箭頭 -->
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$
<!-- 長箭頭 -->
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$
<!-- 雙線箭頭 -->
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$
<!-- 特殊箭頭 -->
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$渲染效果：
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$
上標和裝飾
<!-- 帽子 -->
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$
<!-- 波浪線 -->
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$
<!-- 橫線 -->
$\bar{a}$, $\overline{abc}$
<!-- 下劃線 -->
$\underline{abc}$
<!-- 向量箭頭 -->
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$
<!-- 點 -->
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$渲染效果：
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$
$\bar{a}$, $\overline{abc}$
$\underline{abc}$
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$
復雜公式示例
物理公式
<!-- 薛定諤方程 -->
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$
<!-- 麥克斯韋方程組 -->
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$
<!-- 洛倫茲變換 -->
$$
\begin{pmatrix}
ct' \\
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$渲染效果：
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$
$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$
$$ \begin{pmatrix} ct' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \ -\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix} $$
數學定理
<!-- 傅裡葉變換 -->
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
<!-- 泰勒展開 -->
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
<!-- 歐拉公式 -->
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
<!-- 高斯積分 -->
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$
<!-- 貝葉斯定理 -->
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$渲染效果：
$$\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$
算法復雜度
<!-- 時間復雜度 -->
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$
<!-- 遞推關系 -->
$$T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 1 \\
2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1
\end{cases}$$
<!-- 主定理 -->
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$
其中，$a \geq 1$，$b > 1$，$f(n)$ 是漸近正函數。渲染效果：
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$
$$T(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \ 2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1 \end{cases}$$
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$ 其中，$a \geq 1$，$b > 1$，$f(n)$ 是漸近正函數。
數學公式最佳實踐
編寫建議
✅ 推薦做法：
1. **使用語義化命令**：
- 使用 `\sin`、`\cos`、`\log` 而不是 `sin`、`cos`、`log`
- 使用 `\mathrm{d}x` 表示微分
2. **保持間距合理**：
- 在運算符周圍添加適當空格：`\,`（小空格）、`\;`（中空格）、`\quad`（大空格）
3. **使用括號匹配**：
- 自動調整大小：`\left(\right)`、`\left[\right]`、`\left\{\right\}`
4. **公式對齊**：
- 使用 `align` 環境對齊等號
- 使用 `&` 標記對齊點
❌ 避免做法：
1. 過長的公式不換行
2. 缺少必要的括號
3. 不一致的符號使用
4. 忽略語法錯誤檢查常見錯誤修正
<!-- ❌ 錯誤寫法 -->
$sin(x)$，$log(x)$，$max(a,b)$
<!-- ✅ 正確寫法 -->
$\sin(x)$，$\log(x)$，$\max(a,b)$
<!-- ❌ 錯誤寫法 -->
$(\frac{a}{b})$
<!-- ✅ 正確寫法 -->
$\left(\frac{a}{b}\right)$
<!-- ❌ 錯誤寫法 -->
$x=1+2+3+...+n$
<!-- ✅ 正確寫法 -->
$x = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$可訪問性考慮
為了提高公式的可訪問性：
1. **添加文字描述**：
$$E = mc^2$$
> 這是愛因斯坦的質能方程，表示能量等於質量乘以光速的平方。
2. **使用替代文本**：
在復雜公式後添加簡化說明
3. **避免僅用顏色區分**：
使用不同的符號或樣式來區分概念
4. **保持公式簡潔**：
將復雜公式拆分為多個步驟支持的數學環境
Markdown 處理器支持
| 處理器 | 數學支持 | 語法 | 配置要求 |
|---|---|---|---|
| GitHub | ✅ | $...$, $$...$$ | 自動支持 |
| GitLab | ✅ | $...$, $$...$$ | 需要啟用 |
| VitePress | ✅ | $...$, $$...$$ | 插件配置 |
| Jekyll | ✅ | $...$, $$...$$ | MathJax/KaTeX |
| Hugo | ✅ | $...$, $$...$$ | 主題支持 |
VitePress 配置示例
// .vitepress/config.js
export default {
markdown: {
math: true
}
}渲染引擎
常用的數學公式渲染引擎：
1. **MathJax**：
- 功能最完整，支持全套 LaTeX
- 渲染質量高，但加載較慢
2. **KaTeX**：
- 渲染速度快
- 支持常用數學語法
- 體積較小
3. **MathML**：
- 原生瀏覽器支持
- 語法復雜，通常自動生成相關語法
工具和資源
在線編輯器
- LaTeX Live: 實時預覽LaTeX公式
- MathJax Demo: 測試MathJax渲染
- KaTeX Demo: KaTeX公式測試
- Desmos: 圖形化數學表達式
公式編輯工具
- MathType: 專業數學公式編輯器
- LaTeX Workshop (VS Code): LaTeX編寫插件
- MathQuill: 可視化數學編輯器
- Wiris: 在線數學公式編輯器
參考資源
- LaTeX Math Symbols: 數學符號參考表
- Detexify: 手寫識別LaTeX符號
- MathJax Documentation: 官方文檔
- KaTeX Supported Functions: 支持的函數列表
通過掌握數學公式語法，您可以在技術文檔中優雅地表達復雜的數學概念和公式。