গাণিতিক সূত্র

মার্কডাউন LaTeX সিনট্যাক্স ব্যবহার করে গাণিতিক সূত্র এম্বেড করা সমর্থন করে, যা টেকনিক্যাল ডকুমেন্ট, একাডেমিক পেপার এবং শিক্ষাদান উপকরণের জন্য পেশাদার গাণিতিক প্রকাশের ক্ষমতা প্রদান করে।

বেসিক LaTeX গাণিতিক সিনট্যাক্স

ইনলাইন সূত্র

সূত্র ঘিরে রাখতে সিঙ্গেল ডলার সাইন $ ব্যবহার করুন:

markdown

এটি একটি ইনলাইন সূত্র: $E = mc^2$, যা আইনস্টাইনের ভর-শক্তি সমীকরণ।

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল $A = \pi r^2$, যেখানে $r$ হল ব্যাসার্ধ।

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

এটি একটি ইনলাইন সূত্র: $E = mc^2$, যা আইনস্টাইনের ভর-শক্তি সমীকরণ।

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হল $A = \pi r^2$, যেখানে $r$ হল ব্যাসার্ধ।

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ব্লক সূত্র

সূত্র ঘিরে রাখতে ডাবল ডলার সাইন $$ ব্যবহার করুন, যা আলাদা সেন্টার্ড লাইনে প্রদর্শিত হবে:

markdown

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

বেসিক গাণিতিক এলিমেন্ট

সুপারস্ক্রিপ্ট এবং সাবস্ক্রিপ্ট

markdown

<!-- সুপারস্ক্রিপ্ট -->
$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$

<!-- সাবস্ক্রিপ্ট -->
$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$

<!-- সম্মিলিত -->
$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$x^2$, $e^{i\pi}$, $2^{10}$

$x_1$, $a_{ij}$, $\log_2 n$

$x_1^2$, $a_{i,j}^{(k)}$, $\sum_{i=1}^n x_i^2$

ভগ্নাংশ

markdown

<!-- বেসিক ভগ্নাংশ -->
$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$

<!-- চলমান ভগ্নাংশ -->
$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$

<!-- জটিল ভগ্নাংশ -->
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\frac{1}{2}$, $\frac{a}{b}$, $\frac{x+y}{x-y}$

$\frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \cdots}}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$

বর্গমূল

markdown

<!-- বর্গমূল -->
$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$

<!-- n-তম মূল -->
$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$

<!-- জটিল মূল -->
$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\sqrt{2}$, $\sqrt{x^2 + y^2}$

$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[n]{x}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}$, $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}$

প্রতীক এবং অপারেটর

গ্রিক অক্ষর

markdown

<!-- ছোট হাতের গ্রিক অক্ষর -->
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$

$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$

$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$

<!-- বড় হাতের গ্রিক অক্ষর -->
$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$

$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $\zeta$, $\eta$, $\theta$

$\iota$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\xi$, $\pi$, $\rho$

$\sigma$, $\tau$, $\upsilon$, $\phi$, $\chi$, $\psi$, $\omega$

$\Alpha$, $\Beta$, $\Gamma$, $\Delta$, $\Epsilon$, $\Zeta$, $\Eta$, $\Theta$

$\Lambda$, $\Xi$, $\Pi$, $\Sigma$, $\Phi$, $\Psi$, $\Omega$

অপারেটর

markdown

<!-- বেসিক অপারেশন -->
$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$

<!-- সম্পর্কিত অপারেশন -->
$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$

<!-- লজিক্যাল অপারেশন -->
$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$

<!-- সেট অপারেশন -->
$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$

<!-- অন্যান্য প্রতীক -->
$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$+$, $-$, $\times$, $\div$, $\pm$, $\mp$

$=$, $\neq$, $<$, $>$, $\leq$, $\geq$, $\ll$, $\gg$

$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\implies$, $\iff$

$\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\cup$, $\cap$, $\emptyset$

$\infty$, $\partial$, $\nabla$, $\propto$, $\approx$, $\equiv$

উন্নত গাণিতিক স্ট্রাকচার

সমষ্টি এবং ইন্টিগ্রেশন

markdown

<!-- সমষ্টি -->
$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

<!-- ইন্টিগ্রেশন -->
$$\int_a^b f(x) dx$$

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$$

$$\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$$

<!-- লিমিট -->
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

$$\int_a^b f(x) dx$$

$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

$$\iint_D f(x,y) , dx , dy$$

$$\iiint_V f(x,y,z) , dx , dy , dz$$

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$

ম্যাট্রিক্স এবং ডিটারমিন্যান্ট

markdown

<!-- বেসিক ম্যাট্রিক্স -->
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$

<!-- বন্ধনী সহ ম্যাট্রিক্স -->
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$

<!-- ডিটারমিন্যান্ট -->
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
$$

<!-- সমীকরণ সিস্টেম -->
$$
\begin{cases}
x + y = 1 \\
2x - y = 0
\end{cases}
$$

<!-- বড় ম্যাট্রিক্স -->
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$ \begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

$$ \begin{cases} x + y = 1 \ 2x - y = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$

মাল্টি-লাইন সূত্র

markdown

<!-- অ্যালাইনড মাল্টি-লাইন সূত্র -->
$$
\begin{align}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
&= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \\
&= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}
\end{align}
$$

<!-- পিসওয়াইজ কেস -->
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$

<!-- নাম্বারড সূত্র -->
$$
E = mc^2 \tag{1}
$$

$$
F = ma \tag{2}
$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$ \begin{align} f(x) &= ax^2 + bx + c \ &= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \ &= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{align} $$

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} $$

$$ E = mc^2 \tag{1} $$

$$ F = ma \tag{2} $$

ফন্ট এবং স্টাইল

গাণিতিক ফন্ট

markdown

<!-- বোল্ড -->
$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$

<!-- ইটালিক (ডিফল্ট) -->
$A$, $x$, $\alpha$

<!-- ব্ল্যাকবোর্ড বোল্ড -->
$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$

<!-- ক্যালিগ্রাফিক -->
$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$

<!-- স্ক্রিপ্ট -->
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$

<!-- মনোস্পেস -->
$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$

<!-- রোমান -->
$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\mathbf{A}$, $\mathbf{x}$, $\boldsymbol{\alpha}$

$A$, $x$, $\alpha$

$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$

$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{F}$, $\mathcal{L}$

$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{F}$, $\mathscr{L}$

$\mathtt{text}$, $\mathtt{ABC}$

$\mathrm{d}x$, $\mathrm{sin}$, $\mathrm{cos}$

সাইজ কন্ট্রোল

markdown

<!-- বিভিন্ন সাইজ -->
$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$

<!-- সূত্রে ব্যবহার -->
$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\tiny{tiny}$ $\small{small}$ $\normalsize{normal}$ $\large{large}$ $\Large{Large}$ $\LARGE{LARGE}$ $\huge{huge}$

$$\Large \sum_{i=1}^{n} \small x_i = \normalsize X$$

বিশেষ প্রতীক এবং চিহ্ন

তীর

markdown

<!-- সিঙ্গেল তীর -->
$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$

<!-- ডাবল তীর -->
$\leftrightarrow$, $\updownarrow$

<!-- লং তীর -->
$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$

<!-- ডাবল লাইন তীর -->
$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

<!-- বিশেষ তীর -->
$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\leftarrow$, $\rightarrow$, $\uparrow$, $\downarrow$

$\leftrightarrow$, $\updownarrow$

$\longleftarrow$, $\longrightarrow$, $\longleftrightarrow$

$\Leftarrow$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$

$\mapsto$, $\to$, $\gets$, $\hookrightarrow$, $\leadsto$

সুপারস্ক্রিপ্ট এবং ডেকোরেশন

markdown

<!-- হ্যাট -->
$\hat{a}$, $\widehat{abc}$

<!-- টিল্ডে -->
$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$

<!-- ওভারলাইন -->
$\bar{a}$, $\overline{abc}$

<!-- আন্ডারলাইন -->
$\underline{abc}$

<!-- ভেক্টর তীর -->
$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$

<!-- ডট -->
$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$\hat{a}$, $\widehat{abc}$

$\tilde{a}$, $\widetilde{abc}$

$\bar{a}$, $\overline{abc}$

$\underline{abc}$

$\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}$

$\dot{a}$, $\ddot{a}$, $\dddot{a}$

জটিল সূত্র উদাহরণ

পদার্থবিজ্ঞান সূত্র

markdown

<!-- শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ -->
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$

<!-- ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ -->
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$

<!-- লরেন্টজ রূপান্তর -->
$$
\begin{pmatrix}
ct' \\
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \\
-\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$$

$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$

$$ \begin{pmatrix} ct' \ x' \ y' \ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0 \ -\gamma v/c & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix} $$

গাণিতিক উপপাদ্য

markdown

<!-- ফুরিয়ার রূপান্তর -->
$$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

<!-- টেলর প্রসারণ -->
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

<!-- অয়লারের সূত্র -->
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

<!-- গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল -->
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$

<!-- বেয়েসের উপপাদ্য -->
$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)$$

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

অ্যালগরিদম কমপ্লেক্সিটি

markdown

<!-- টাইম কমপ্লেক্সিটি -->
$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$

<!-- রিকারেন্স সম্পর্ক -->
$$T(n) = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 1 \\
2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1
\end{cases}$$

<!-- মাস্টার থিওরেম -->
$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$
যেখানে $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ একটি অ্যাসিম্পটোটিকলি পজিটিভ ফাংশন।

রেন্ডার্ড আউটপুট:

$$O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)$$

$$T(n) = \begin{cases} 1 & \text{if } n = 1 \ 2T(n/2) + O(n) & \text{if } n > 1 \end{cases}$$

$$T(n) = aT(n/b) + f(n)$$ যেখানে $a \geq 1$, $b > 1$, $f(n)$ একটি অ্যাসিম্পটোটিকলি পজিটিভ ফাংশন।